Перейти к содержимому
rauan

Потенциальная энергия взаимодействия является, на самом деле, энергией поля

Рекомендованные сообщения

Потенциальная энергия — обман, или почему поле баще

 

Привет всем. В этой статье я покажу, что - то, что обычно называют энергией взаимодействия двух тел, является ничем иным, как энергия поля в окружающем пространстве. Для теоретических физиков эта статья может показаться банальной, но если вы, как и я, знающим физиком не являетесь, эта статья может, и даже должна, вас удивить и поразить. Вы только представьте, потенциальная энергия взаимодействия является, на самом деле, энергией поля!

Основным предположением в данной статье является то, что сила может быть определена как минус градиент потенциальной энергии не только в Декартовой системе координат, но и для любых обобщенных координат. Тогда силу Кулона можно рассматривать как минус производную энергии поля во вселенной по расстоянию между зарядами. Так называемая потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов является, на самом деле, энергией электрического поля.

Для того, чтобы доказать свое утверждение, преобразую первое уравнение Максвелла к более удобной форме, затем, используя полученные результаты, покажу тождественность энергетического и силового подхода для двух частных случаев, а затем, в конце, приведу обобщение.

Прокачка уравнения

Для начала, можно с помощью первого уравнения Максвелла вывести закон об обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Первое уравнение Максвелла гласит, что дивергенция вектора напряженности электрического поля пропорциональна плотности заряда. Другими словами, чем больше заряда в каком — то кусочке объема, тем больше поле «выпирает».

LPHfwa71-Ck.jpg
 

Проинтегрировав этого зверя, можно получить гораздо более удобную формулу Остроградского — Гаусса.

As-bGq_DbUI.jpg
 

А потом можно ее упростить и сделать еще удобнее. Рассмотрим случай, когда воображаемый контур представляет из себя сферу с центром в точке, где находится заряд.

TUqHFcApaqM.jpg
 

Или же, если воспользоваться более удобными обозначениями,

image.png.e4cb93645889d185575166522a32cfa4.png
 

Итак, вот оно. С помощью первого уравнения Максвелла мы вывели зависимость E от r.

Можно переходить к примерам.

Равномерно поляризованный шар

image.png.763626a222f5926b715e71321859a22b.png
 

Рассмотрим сначала линейно поляризованный шар. Шар будет обладать дипольным моментом и, следовательно, создавать электрическое поле во всей окружающей вселенной. Так же он будет создавать поле внутри себя, что нам тоже надо учесть.

Чтобы решить эту задачу, введем сначала удобные координаты. В качестве координат возьмем расстояние от центра, r, и угол между радиус — вектором точки и дипольным моментом шара, θ.

Рассмотрим для начала случай, когда r больше радиуса шара R, то есть пространство снаружи шара. Тогда поле, создаваемое шаром, можно рассчитать как поле точечного диполя. Для расчета модуля поля можно дипольный момент шара разбить на два маленьких мини — диполя, один — параллельный радиус — вектору точки, один — перпендикулярный, а потом посчитать поле как суперпозицию создаваемых этими двумя диполями полей. Так как поля перпендикулярны, можно воспользоваться теоремой Пифагора.

image.png.e98f7878baeddbcd32262c40d88c6748.png
рисунок не мой
image.png.f41b73ba5795c2b31bdd1d07ffd40624.png
 

Где Pp и Pn — параллельная и перпендикулярная радиус — вектору составляющие дипольного момента, соответственно.

Теперь выразим параллельный и перпендикулярный компоненты диполя через модуль диполя и угол.

image.png.5ed86e6e757949db761e1b388a2d1b4b.png
 

Объемную плотность энергии можно выразить через электрическую постоянную и напряженность поля.

image.png.ba2de89734ea31ff815405b8b982506e.png
 

Отлично. Теперь мы знаем объемную плотность энергии. Чтобы найти энергию электрического поля во всей вселенной, нужно просто проинтегрировать ее по объему. Для этого можно пространство разбить на множество тонких «луковых слоев». Обозначим через хи отношение энергии поля внутри такого слоя от его толщины. Искомую величину можно найти, просто проинтегрировав объемную плотность энергии по площади.

ZD4tTiScgbk.jpg
 

Далее, воспользовавшись калькулятором интегралов, получаем следующее выражение.

xssr6e5_lP4.jpg
 

Возьмем теперь луковый слой радиуса R, и будем плавно его расширять до бесконечности, попутно считая энергию. Другими словами, проинтегрируем хи по радиусу от R до бесконечности.

TEPmJwe9YLM.jpg
 

Готово. Выражение выше описывает суммарную энергию электрического поля, создаваемого шаром во всей окружающей вселенной.

Рассмотрим теперь случай, когда r ≤ R. Тогда поле будет однородно и может быть представлено выражением

_uErPW-3gLk.jpg
см. Д.В.Сивухин том 3, страница 70

А для того, чтобы найти энергию поля внутри шара, достаточно применить описанную выше формулу для нахождения объемной плотности энергии, а затем полученное значение умножить на объем.

1piiP7bXsYM.jpg
 

Чтобы найти суммарную энергию электрического поля во всей вселенной, сложим энергию поля внутри шара и снаружи шара. Получаем

Qq-lWgqeZSI.jpg
 
IhzqMgKsF7U.jpg
 

Вот и оно. Выражение для энергии электрического поля, создаваемого равномерно поляризованным шаром. Заметьте, что в доказательстве были использованы только две основные формулы — первое уравнение Максвелла и выражение для объемной плотности энергии электрического поля. Никакого закона Кулона.

Найдем теперь энергию равномерно поляризованного шара с помощью закона Кулона. Для этого рассмотрим систему, состоящую из незаряженного шара и точечного заряда. Заряд будет создавать электрическое поле, которое, в свою очередь, будет индуцировать дипольный момент на шаре.

image.png.f31542c5d9f9a2a60286a413b8c3f103.png
 

Здесь a » R, то есть поле, создаваемое зарядом около шара, можно считать однородным.

image.png.0119a4cb9a252d1de63e287795d91431.png
 

Здесь тау — некоторая константа. Можно было бы ее, конечно, выразить, но пока, для краткости, можно ее оставить в таком виде. Раскрывать тау понадобится только в самом конце.

Выразим, лучше, силу, действующую на заряд со стороны шара.

bvecQwwGbS8.jpg
 

Теперь допустим, что мы медленно удаляем заряд на бесконечное расстояние от шара. Мы совершим работу, равную

L2PNQ0PbYl0.jpg
 

Представим второй случай, когда все заряды, индуцированные на шаре, некоторым образом «заморозились», то есть двигаться не могут. Посмотрим, какую работу надо будет совершить теперь, чтобы отодвинуть точечный заряд на бесконечное расстояние.

UbpoHrazdmI.jpg
 

А теперь внимание, фокус. В первом и во втором случае начальная энергия как шара, так и заряда, одинакова. В обоих случаях одинакова и конечная энергия заряда — она равна нулю. Получается, единственная разница в том, что в первом случае диполь пропал, а во втором остался. Конечная энергия, а значит и совершенная работа, во втором случае из — за этого больше. То есть, чтобы определить энергию диполя, достаточно отнять работу в первом случае от работы во втором случае.

zPTu-EXlLvI.jpg
 

Выразим теперь через дипольный момент.

ldTANHynOpk.jpg
 

Итак, вот конечный результат.

image.png.2a8420485fea36befff47f525f5ae606.png
 

Вот оно! Чудо свершилось! За такие моменты я и люблю физику. Когда вроде бы не связанные вещи оказываются на самом деле разными проявлениями одного и того же закона.

Мы доказали, что энергия равномерно поляризованного шара равна энергии электрического поля, создаваемого им. Это означает, что эти две энергии на самом деле тождественны.

Увезенная планета

Чтобы не делать поспешных выводов, попробую опять, на этот раз с другим примером. Представьте шарообразную однородную планету массы M и радиуса R. Пусть планета состоит из ценных ископаемых, то есть к ней на кораблях подлетают люди и медленно отрывают кусочки планеты, пока она совсем не исчезнет. Вопрос такой — какую минимальную работу надо совершить, чтобы растащить планету на кусочки?

Очевидно, здесь нужно интегрировать. Будем считать, планета в ходе операции остается шарообразной. На результат вычислений это не повлияет, но сделает их гораздо проще. Тогда, чтобы снять с планеты тонкий слой, нужно совершить работу, равную произведению массы слоя и гравитационного потенциала.

image.png.bffc306da5a29f3d57da384d7e4b1bca.png
 

Можно теперь выразить их через радиус и проинтегрировать.

image.png.b7a21a48a45943a8a99696c55aa2fb22.png
 
image.png.920d8bb3242defa7109e408167272eae.png
 

Отлично. А теперь самое интересное — вычисление энергии поля.

Опять же, есть два случая — r > R и r ≤ R. Рассмотрим сначала случай когда r > R, то есть внешнее пространство.

image.png.75787f1175ebc10f1bacc317256705bd.png
 

По аналогии и электричеством, объемная плотность энергии гравитационного поля определяется следующим выражением.

 
image.png.109420acdbd89ca6b3f0a700340e2ea7.png

Такое сходство объясняется похожестью формул гравитации на формулы электростатики.

Теперь можно найти плотность энергии и проинтегрировать.

ldzDRc6u6UQ.jpg
 

Похожим образом находим энергию поля внутри шара. Для этого сначала запишем выражение для напряженности поля.

tqQPLukyA6s.jpg
 

Здесь m обозначает массу вещества, находящегося «под» точкой, то есть находящегося внутри воображаемой сферы радиуса r. Вещество, находящееся снаружи, не будет создавать никакого поля внутри. Это можно доказать с помощью симметрии и используя теорему Гаусса.

Теперь остается только применить формулу для плотности энергии и проинтегрировать.

nAzFSewvp1M.jpg
 

Теперь остается только сложить энергию поля снаружи и внутри шара. Получаем следующее выражение.

image.png.e03b9be138e9e04b7f9bd14ded3a4f22.png
 

Ответ точно такой же, как и в прошлый раз. Энергия взаимодействия вещества планеты равна энергии гравитационного поля, создаваемого планетой. Кажется я забыл минус, ну да ладно, и без него все понятно.

Это еще раз подтверждает утверждение о полевой природе потенциальной энергии.

Закон Кулона в общем виде

Попробуем теперь вывести закон Кулона, используя первое уравнение Максвелла и выражение для энергии электрического поля. Для этого рассмотрим большой плоский конденсатор.

image.png.c3191f683dfaa2cde918fb2e5d19d677.png
 

Сразу скажу, что поле внутри конденсатора будет равно

image.png.028dbe103b50d7f6415858bc2d7676de.png
 

для объяснения смотрите Д.В.Сивухин том 3, страница 103.

Пусть сила, действующая на точечный заряд в электрическом поле, дается некоторым выражением

GfMNd40MZ0o.jpg
 

мы знаем, что перемещая пластины конденсатора параллельно друг другу, никакой работы мы не совершаем, значит составляющая силы, перпендикулярная вектору напряженности равна нулю, а значит вектор F будет колинеарен с вектором E. Потому направление указывать не нужно, и остается только найти зависимость модуля силы F от E и q.

Выразим теперь силу как производную энергии конденсатора.

dsJZSeGsra4.jpg
 

Продиффернцируя ее по Н, получаем

UoqydlNPCYs.jpg

 

 

Это говорит нам о том, что при увеличении толщины пластин сила будет возрастать линейно. Другими словами, если мы добавим слой толщиной dН, на него будет действовать сила, равная

dHZ3w_vNeYk.jpg
 

Если теперь выразить правую часть через E и q, получим

fCqFvDKwMGE.jpg
 

Или же, проинтегрировав, получим, наконец, закон Кулона.

5mwq5x9OLW4.jpg
 

Или же, в более привычном виде.

Mv9kIGtjSPo.jpg
 

Итак, с помощью первого уравнения Максвелла и выражения для энергии поля мы получили закон Кулона. Помимо вторичности закона Кулона это доказывает, что сила может быть получена как минус градиент потенциальной энергии не только в Декартовой системе координат, но и в любой другой.

LBSg9BdvRIk.jpg
 

Заключение

Я думаю, полученные нами результаты очень интересны. Обычно выражения для потенциальной энергии и для энергии поля считаются чем — то совершенно раздельным, но, как показывает данная статья, они на самом деле тесно связаны. Вообще, полевой способ понимания электростатики и гравитации мне кажется гораздо более интуитивным, чем силовой подход, свойственный теории дальнодействия. Закон Кулона и Закон Всемирного тяготения идеально симметричны относительно двух взаимодействующих тел. То есть, можно найти силу взаимодействия одного заряда с полем другого, и она будет равна силе взаимодействия второго заряда с полем первого. Это выражние так и хочется упростить, как — то использовать красоту симметрии. И вот, с помощью поля это мне удалось. Вместо того, чтобы рассматривать взаимодействие зарядов с полем, можно рассматривать взаимодействие двух полей. Такой подход мне кажется гораздо более интуитивным.

С помощью метода энергии поля можно так же определить характер других взаимодействий. Если удастся, уже где — то через неделю выйдет еще одна статья на эту же тему. Скорее всего, основным вопросом в ней будет определение силы звукового взаимодействия, то есть силы взаимодействия двух источников звука. (Если она существует, конечно. Пока сказать не могу, не проверял) Определить эту силу с помощью обычной механики Ньютона очень и очень сложно, практически невозможно. Но вот с помощью метода энергии поля задача, вроде бы, решается.

Конечно, в решении повседневных задач метод энергии поля сильно уступает обычной Ньютоновской механике. Из — за сложности интегралов мне даже не удалось найти силу взаимодействия двух точечных зарядов. Вся эта муть с силами, энергиями, координатами и остальным явяется лишь попытками человека понять и предсказать, как поведет себя природа в тех или иных ситуациях. Теоретическая модель должна быть простой и понятной. В этом смысле понятие потенциальной энергии очень и очень полезно, и самообман очень даже оправдан. Энергетический метод, конечно, тоже не так уж и «чист». Самообман неизбежен. Он является неотъемлемой частью физики и человеческой жизни вообще. Невозможно адекватно познать мир, и электростатика — не исключение.

Может быть, где — то в ходе доказательства я допустил ошибку и решил, что доказал утверждение, хотя на самом деле просто ошибся. Может быть, ответы просто случайно совпали, или я совершил какую — нибудь грубую ошибку еще на этапе мысли. Не знаю. Пишите в комментарии.

  • like 1

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Создайте аккаунт или войдите в него для комментирования

Вы должны быть пользователем, чтобы оставить комментарий

Создать аккаунт

Зарегистрируйтесь для получения аккаунта. Это просто!

Зарегистрировать аккаунт

Войти

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Войти сейчас

×