Перейти к содержимому

rauan

Ученик
  • Публикации

    2
  • Зарегистрирован

  • Посещение

  • Дней в лидерах

    1

Последний раз rauan выиграл 8 октября

Публикации rauan были самыми популярными!

Репутация

2 Новичок
  1. Потенциальная энергия — обман, или почему поле баще Привет всем. В этой статье я покажу, что - то, что обычно называют энергией взаимодействия двух тел, является ничем иным, как энергия поля в окружающем пространстве. Для теоретических физиков эта статья может показаться банальной, но если вы, как и я, знающим физиком не являетесь, эта статья может, и даже должна, вас удивить и поразить. Вы только представьте, потенциальная энергия взаимодействия является, на самом деле, энергией поля! Основным предположением в данной статье является то, что сила может быть определена как минус градиент потенциальной энергии не только в Декартовой системе координат, но и для любых обобщенных координат. Тогда силу Кулона можно рассматривать как минус производную энергии поля во вселенной по расстоянию между зарядами. Так называемая потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов является, на самом деле, энергией электрического поля. Для того, чтобы доказать свое утверждение, преобразую первое уравнение Максвелла к более удобной форме, затем, используя полученные результаты, покажу тождественность энергетического и силового подхода для двух частных случаев, а затем, в конце, приведу обобщение. Прокачка уравнения Для начала, можно с помощью первого уравнения Максвелла вывести закон об обратной пропорциональности квадрату расстояния. Первое уравнение Максвелла гласит, что дивергенция вектора напряженности электрического поля пропорциональна плотности заряда. Другими словами, чем больше заряда в каком — то кусочке объема, тем больше поле «выпирает». Проинтегрировав этого зверя, можно получить гораздо более удобную формулу Остроградского — Гаусса. А потом можно ее упростить и сделать еще удобнее. Рассмотрим случай, когда воображаемый контур представляет из себя сферу с центром в точке, где находится заряд. Или же, если воспользоваться более удобными обозначениями, Итак, вот оно. С помощью первого уравнения Максвелла мы вывели зависимость E от r. Можно переходить к примерам. Равномерно поляризованный шар Рассмотрим сначала линейно поляризованный шар. Шар будет обладать дипольным моментом и, следовательно, создавать электрическое поле во всей окружающей вселенной. Так же он будет создавать поле внутри себя, что нам тоже надо учесть. Чтобы решить эту задачу, введем сначала удобные координаты. В качестве координат возьмем расстояние от центра, r, и угол между радиус — вектором точки и дипольным моментом шара, θ. Рассмотрим для начала случай, когда r больше радиуса шара R, то есть пространство снаружи шара. Тогда поле, создаваемое шаром, можно рассчитать как поле точечного диполя. Для расчета модуля поля можно дипольный момент шара разбить на два маленьких мини — диполя, один — параллельный радиус — вектору точки, один — перпендикулярный, а потом посчитать поле как суперпозицию создаваемых этими двумя диполями полей. Так как поля перпендикулярны, можно воспользоваться теоремой Пифагора. рисунок не мой Где Pp и Pn — параллельная и перпендикулярная радиус — вектору составляющие дипольного момента, соответственно. Теперь выразим параллельный и перпендикулярный компоненты диполя через модуль диполя и угол. Объемную плотность энергии можно выразить через электрическую постоянную и напряженность поля. Отлично. Теперь мы знаем объемную плотность энергии. Чтобы найти энергию электрического поля во всей вселенной, нужно просто проинтегрировать ее по объему. Для этого можно пространство разбить на множество тонких «луковых слоев». Обозначим через хи отношение энергии поля внутри такого слоя от его толщины. Искомую величину можно найти, просто проинтегрировав объемную плотность энергии по площади. Далее, воспользовавшись калькулятором интегралов, получаем следующее выражение. Возьмем теперь луковый слой радиуса R, и будем плавно его расширять до бесконечности, попутно считая энергию. Другими словами, проинтегрируем хи по радиусу от R до бесконечности. Готово. Выражение выше описывает суммарную энергию электрического поля, создаваемого шаром во всей окружающей вселенной. Рассмотрим теперь случай, когда r ≤ R. Тогда поле будет однородно и может быть представлено выражением см. Д.В.Сивухин том 3, страница 70 А для того, чтобы найти энергию поля внутри шара, достаточно применить описанную выше формулу для нахождения объемной плотности энергии, а затем полученное значение умножить на объем. Чтобы найти суммарную энергию электрического поля во всей вселенной, сложим энергию поля внутри шара и снаружи шара. Получаем Вот и оно. Выражение для энергии электрического поля, создаваемого равномерно поляризованным шаром. Заметьте, что в доказательстве были использованы только две основные формулы — первое уравнение Максвелла и выражение для объемной плотности энергии электрического поля. Никакого закона Кулона. Найдем теперь энергию равномерно поляризованного шара с помощью закона Кулона. Для этого рассмотрим систему, состоящую из незаряженного шара и точечного заряда. Заряд будет создавать электрическое поле, которое, в свою очередь, будет индуцировать дипольный момент на шаре. Здесь a » R, то есть поле, создаваемое зарядом около шара, можно считать однородным. Здесь тау — некоторая константа. Можно было бы ее, конечно, выразить, но пока, для краткости, можно ее оставить в таком виде. Раскрывать тау понадобится только в самом конце. Выразим, лучше, силу, действующую на заряд со стороны шара. Теперь допустим, что мы медленно удаляем заряд на бесконечное расстояние от шара. Мы совершим работу, равную Представим второй случай, когда все заряды, индуцированные на шаре, некоторым образом «заморозились», то есть двигаться не могут. Посмотрим, какую работу надо будет совершить теперь, чтобы отодвинуть точечный заряд на бесконечное расстояние. А теперь внимание, фокус. В первом и во втором случае начальная энергия как шара, так и заряда, одинакова. В обоих случаях одинакова и конечная энергия заряда — она равна нулю. Получается, единственная разница в том, что в первом случае диполь пропал, а во втором остался. Конечная энергия, а значит и совершенная работа, во втором случае из — за этого больше. То есть, чтобы определить энергию диполя, достаточно отнять работу в первом случае от работы во втором случае. Выразим теперь через дипольный момент. Итак, вот конечный результат. Вот оно! Чудо свершилось! За такие моменты я и люблю физику. Когда вроде бы не связанные вещи оказываются на самом деле разными проявлениями одного и того же закона. Мы доказали, что энергия равномерно поляризованного шара равна энергии электрического поля, создаваемого им. Это означает, что эти две энергии на самом деле тождественны. Увезенная планета Чтобы не делать поспешных выводов, попробую опять, на этот раз с другим примером. Представьте шарообразную однородную планету массы M и радиуса R. Пусть планета состоит из ценных ископаемых, то есть к ней на кораблях подлетают люди и медленно отрывают кусочки планеты, пока она совсем не исчезнет. Вопрос такой — какую минимальную работу надо совершить, чтобы растащить планету на кусочки? Очевидно, здесь нужно интегрировать. Будем считать, планета в ходе операции остается шарообразной. На результат вычислений это не повлияет, но сделает их гораздо проще. Тогда, чтобы снять с планеты тонкий слой, нужно совершить работу, равную произведению массы слоя и гравитационного потенциала. Можно теперь выразить их через радиус и проинтегрировать. Отлично. А теперь самое интересное — вычисление энергии поля. Опять же, есть два случая — r > R и r ≤ R. Рассмотрим сначала случай когда r > R, то есть внешнее пространство. По аналогии и электричеством, объемная плотность энергии гравитационного поля определяется следующим выражением. Такое сходство объясняется похожестью формул гравитации на формулы электростатики. Теперь можно найти плотность энергии и проинтегрировать. Похожим образом находим энергию поля внутри шара. Для этого сначала запишем выражение для напряженности поля. Здесь m обозначает массу вещества, находящегося «под» точкой, то есть находящегося внутри воображаемой сферы радиуса r. Вещество, находящееся снаружи, не будет создавать никакого поля внутри. Это можно доказать с помощью симметрии и используя теорему Гаусса. Теперь остается только применить формулу для плотности энергии и проинтегрировать. Теперь остается только сложить энергию поля снаружи и внутри шара. Получаем следующее выражение. Ответ точно такой же, как и в прошлый раз. Энергия взаимодействия вещества планеты равна энергии гравитационного поля, создаваемого планетой. Кажется я забыл минус, ну да ладно, и без него все понятно. Это еще раз подтверждает утверждение о полевой природе потенциальной энергии. Закон Кулона в общем виде Попробуем теперь вывести закон Кулона, используя первое уравнение Максвелла и выражение для энергии электрического поля. Для этого рассмотрим большой плоский конденсатор. Сразу скажу, что поле внутри конденсатора будет равно для объяснения смотрите Д.В.Сивухин том 3, страница 103. Пусть сила, действующая на точечный заряд в электрическом поле, дается некоторым выражением мы знаем, что перемещая пластины конденсатора параллельно друг другу, никакой работы мы не совершаем, значит составляющая силы, перпендикулярная вектору напряженности равна нулю, а значит вектор F будет колинеарен с вектором E. Потому направление указывать не нужно, и остается только найти зависимость модуля силы F от E и q. Выразим теперь силу как производную энергии конденсатора. Продиффернцируя ее по Н, получаем Это говорит нам о том, что при увеличении толщины пластин сила будет возрастать линейно. Другими словами, если мы добавим слой толщиной dН, на него будет действовать сила, равная Если теперь выразить правую часть через E и q, получим Или же, проинтегрировав, получим, наконец, закон Кулона. Или же, в более привычном виде. Итак, с помощью первого уравнения Максвелла и выражения для энергии поля мы получили закон Кулона. Помимо вторичности закона Кулона это доказывает, что сила может быть получена как минус градиент потенциальной энергии не только в Декартовой системе координат, но и в любой другой. Заключение Я думаю, полученные нами результаты очень интересны. Обычно выражения для потенциальной энергии и для энергии поля считаются чем — то совершенно раздельным, но, как показывает данная статья, они на самом деле тесно связаны. Вообще, полевой способ понимания электростатики и гравитации мне кажется гораздо более интуитивным, чем силовой подход, свойственный теории дальнодействия. Закон Кулона и Закон Всемирного тяготения идеально симметричны относительно двух взаимодействующих тел. То есть, можно найти силу взаимодействия одного заряда с полем другого, и она будет равна силе взаимодействия второго заряда с полем первого. Это выражние так и хочется упростить, как — то использовать красоту симметрии. И вот, с помощью поля это мне удалось. Вместо того, чтобы рассматривать взаимодействие зарядов с полем, можно рассматривать взаимодействие двух полей. Такой подход мне кажется гораздо более интуитивным. С помощью метода энергии поля можно так же определить характер других взаимодействий. Если удастся, уже где — то через неделю выйдет еще одна статья на эту же тему. Скорее всего, основным вопросом в ней будет определение силы звукового взаимодействия, то есть силы взаимодействия двух источников звука. (Если она существует, конечно. Пока сказать не могу, не проверял) Определить эту силу с помощью обычной механики Ньютона очень и очень сложно, практически невозможно. Но вот с помощью метода энергии поля задача, вроде бы, решается. Конечно, в решении повседневных задач метод энергии поля сильно уступает обычной Ньютоновской механике. Из — за сложности интегралов мне даже не удалось найти силу взаимодействия двух точечных зарядов. Вся эта муть с силами, энергиями, координатами и остальным явяется лишь попытками человека понять и предсказать, как поведет себя природа в тех или иных ситуациях. Теоретическая модель должна быть простой и понятной. В этом смысле понятие потенциальной энергии очень и очень полезно, и самообман очень даже оправдан. Энергетический метод, конечно, тоже не так уж и «чист». Самообман неизбежен. Он является неотъемлемой частью физики и человеческой жизни вообще. Невозможно адекватно познать мир, и электростатика — не исключение. Может быть, где — то в ходе доказательства я допустил ошибку и решил, что доказал утверждение, хотя на самом деле просто ошибся. Может быть, ответы просто случайно совпали, или я совершил какую — нибудь грубую ошибку еще на этапе мысли. Не знаю. Пишите в комментарии.
  2. Привет всем. Недавно я думал о проблеме нахождения скорости распространения волн, и сейчас хочу рассказать вам одну идею, которая пришла мне на ум. Представьте себе полубесконечную цепочку из масс, соединенных пружинами. Массы равны М, жесткости пружин К. Расстояние между пружинами R. Один конец цепи прикреплен к стене. Другой конец двигается по закону S = Sm * sin(wt), S - смещение относительно положения равновесия по оси Х. Ось Х направлена вдоль цепочки. Из этих данных нужно найти скорость распространения волны V. Волна будет продвигаться вдоль цепочки, отражаться и приходить обратно. При некоторых частотах будет возникать стоячая волна. Рассмотрим самую низкую из этих частот, то есть собственную частоту колебаний цепочки. Так же для упрощения вычислений оставим в цепи только одну массу. Теперь период колебаний T = 2П * sqrt(M / K). Длинна волны L = 4R. Отсюда V = L / T = 2R/П * sqrt(K / M). Правильно ли решать задачу таким способом? Сошелся ли ответ? И вообще, как решить поставленную задачу?
×