Перейти к содержимому

Блог по математике

  • запись
    1
  • комментария
    2
  • просмотра
    244

Авторы блога:

Об этом блоге

Блог посвящен изучению мат. аппарата, необходимого для успешного выступления на физических олимпиадах (в том числе: дифф. и интегр. исчисление, линейная алгебра, статистика и теория вероятностей). 

Записи в этом блоге

just_a_bystander

Уважаемые пользователи Гравитона,

в этой заметке хочу рассказать о необходимом математическом аппарате для физической олимпиады. 

В первую очередь скажу о важности МА на физических олимпиадах. Без преувеличений можно сказать, что без хорошего владения математическим аппаратом вы дальше Респы 9 кл. не пройдете. Ниже приведен список тем по математике, которые вы должны знать, если серьезно планируете войти в команду Казахстана на МФО. 

  1. Уровень 7-классника. Необходимо: 
  • знать как решать квадратные уравнения, в том числе: условие существования вещественных корней, формула для корней, теорема Виета. 
  • уметь находить частичные суммы арифметических и геометрических прогрессий; уметь находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 
  • знать базовые тригонометрические формулы (формулы двойного угла, половинного угла, тройного угла, универсальная тригонометрическая подстановка).
  • знать как суммировать векторы. 

       2. Уровень 8-классника. Необходимо:

  • уметь дифференцировать "все что угодно" (правила для производных суммы, произведения, частного, композиции функций; производная показательной функции, логарифма, тригонометрических функций, многочленов).
  • уметь брать неопределенные интегралы от многочленов, экспонент линейных функций, тригонометрических функций, логарифмов. Важное замечание: первообразные некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями. Например, первообразная $e^{-x^2}$ не является элементарной функцией).  
  • понимать различие между гладкой и аналитической функцией. Уметь считать коэффициенты в ряде Тейлора. 
  • знать как считать скалярное произведение двух векторов; знать как считать векторное произведение 3-мерных векторов. 
  • уметь складывать, умножать, делить комплексные числа; понимать, что каждому 2-мерному вектору (после выбора базиса) можно сопоставить комплексное число.
  • знать основы комбинаторики, в том числе знать формулы для кол-ва перестановок, размещений, сочетаний на $n$ символах. 
  • знать основы планиметрии, в том числе: знать формулу для площади треугольника и трапеции через высоту; знать теорему синусов и косинусов; знать, где находится барицентр треугольника. 

       3. Уровень 9-классника. Необходимо: 

  • знать определение тригонометрических функций через комплексные экспоненты (формула Эйлера). 
  • знать определение гиперболических функций. Знать формулы их производных, знать формулы двойного и половинного аргумента.
  • знать формулу для радиуса кривизны траектории. 
  • уметь решать неоднородное линейное дифференциальное уравнение порядка 2 (особенное внимание обратить случаю, когда собственные частоты совпадают).
  • знать, без вывода, формулы для коэффициентов (и их погрешностей) линейной зависимости, построенной по методу наименьших квадратов. Для общей эрудиции неплохо понимать и вывод этих формул, но собственно на олимпиадах его никогда не спрашивают. 

      4. Уровень 10-классника. Необходимо:

  • знать определение частной производной, полного дифференциала функции нескольких переменных. Знать основы векторного анализа (определение градиента, ротора и дивергенции и основные тождества; теоремы Остроградского-Гаусса и Грина).
  • знать, что такое граничные условия Неймана и Дирихле. Знать доказательство теорем единственности для уравнения теплопроводности и уравнения Пуассона (на этом основан метод изображений в электростатике).
  • уметь решать линейное рекуррентное соотношение порядка 2 с постоянными коэффициентами; в частности, знать формулу Бине для чисел Фибоначчи. 
  • уметь считать коэффициенты Фурье для ряда Фурье, интеграла Фурье, дискретного преобразования Фурье (последнее пока не попадалось на МФО, но автор заведомо знает, что у профессора А. И. Слободянюка есть 1 экспериментальная задача на эту тему). 
  • уметь считать неопределенные интегралы методом дифференцирования под знаком интеграла. 
  • знать определение голоморфной и мероморфной функции от одной переменной. Уметь считать определенные интегралы вещественных функций через теорему Коши о вычетах. 
  • знать основы теории вероятности и статистики, в том числе уметь считать среднее значение величины по заданному распределению вероятностей. Быть знакомым с распределением Максвелла по скоростям, нормальным распределением, распределением Пуассона, распределением Бозе-Эйнштейна (знать вывод закона Планка из распределения БЭ) и Ферми-Дирака. Понимать, что среднее квадратичное значение не обязательно равно квадрату среднего значения величины и что самое вероятное значение величины не обязательно равно среднему значению величины. 
  • знать основы линейной алгебры, в том числе знать что такое характеристический многочлен квадратной матрицы и понимать его инвариантность при преобразованиях подобия матрицы. Уметь находить собственные частоты линейной колебательной системы. Уметь умножать матрицы размерности ≤4 (например, умножать матрицы, соответствующие преобразованиям Лоренца). 
  • знать вывод уравнений Эйлера-Лагранжа (принцип наименьшего действия).

Участники Респы 9 кл. должны быть по крайней мере на 8-классника. Участники республиканских сборов и Респы старших классов должны быть по крайней мере на уровне 9-классника. Участникам АФО/МФО надо владеть мат. аппаратом на уровне 10-классника.

Специальные вещи, которые могут пригодиться:

  • знать определение функций Бриллюэна и Ланжевена и их отношение к магнитным свойствам парамагнетиков.
  • знать определение функции Бесселя 1-го рода и ее отношение к распределению интенсивности при дифракции Фраунгофера на круглом отверстии (так, кстати, выводится критерий Рэлея).   
  • знать определение неполного эллиптического интеграла 1-го рода (он возникает, например, при вычислении периода колебаний нелинейного маятника). 
  • знать формулу Муавра-Стирлинга для факториала больших чисел (это может быть полезно для вычисления энтропии некоторых простых термодинамических систем). 
  • знать, с выводом, формулу для значений зета-функции Римана \(\zeta(2)\) и \(\zeta(4)\) (это связано с излучением абсолютно черного тела).
  • метод ВКБ (он может быть применен чтобы вывести правило квантования Бора--Зоммерфельда). 

Если вы сумели прочалить все вышеперечисленное, можно прочалить тензорную алгебру и другие специальные функции (сферические функции Бесселя, многочлены Лагерра и Лежандра, которые возникают в точных решениях некоторых задач квантовой механики). Лично автор сомневается, что в ближайшем будущем они попадутся на олимпиадах, но всё бывает в первый раз. 

Книжки, по которым можно развивать свой математический аппарат:

  • для самых маленьких (6-7 класс) --- "Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы" (под редакцией М. И. Сканави). 
  • для 8-9 классов --- "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (Б. П.Демидович). Можно сначала прочитать брошюру М. А. Шубина "Математический анализ для решения физических задач". 
  • от линейной алгебры пользы куда меньше, чем от математического анализа (поэтому чалить ее лучше после того, как полностью овладели мат. анализом). Ее можно чалить по главам 3, 5, 9, 10 книги Ш. Акслера "Linear algebra done right" (2-ое изд.). 
  • если вам кажется, что вы хорошо владеете мат. аппаратом, прорешайте "Математический тривиум" и "Математический тривиум II" В. И. Арнольда. 

Следует помнить, что очень важно после того как вы освоили какой-то инструмент мат. аппарата, применить его к решению настоящих олимпиадных задач. Задачи "Туймаады"/АФО/МФО иногда требует значительных математических усилий и применения нетривиального мат. аппарата. 

×